¿Cúanto es el Área de cada uno?
Cuadriláteros Inscriptos
Javisro, Creación realizada con GeoGebra
domingo, 29 de noviembre de 2009
Cuadriláteros en el Ring
Ya hemos visto la clasificación de los Cuadriláteros. En esta ocasión están enfrentados en el "Ring". ¿Cuál de todos tiene el mayor perímetro?
¿Cúanto es el Área de cada uno?
¿Cúanto es el Área de cada uno?
sábado, 28 de noviembre de 2009
Sumando Ángulos de los Cuadriláteros
Suma de Ángulos
Mueve los vértices; al modificar la figura: ¿qué sucede con los ángulos?
¿Cuánto da la suma de los ángulos interiores? ¿ y los exteriores?VA OTRA PREGUNTA:
¿Qué pasa cuando 3 puntos quedan alineados y la gráfica resulta un triángulo?
¿Quién se anima a contestar?
Por favor, escribe tu conclusiones en comentarios.Javisro, Creación realizada con GeoGebra
Mueve los vértices; al modificar la figura: ¿qué sucede con los ángulos?
¿Cuánto da la suma de los ángulos interiores? ¿ y los exteriores?VA OTRA PREGUNTA:
¿Qué pasa cuando 3 puntos quedan alineados y la gráfica resulta un triángulo?
¿Quién se anima a contestar?
Por favor, escribe tu conclusiones en comentarios.Javisro, Creación realizada con GeoGebra
viernes, 27 de noviembre de 2009
Carta de amor a un Trapezoide
Querido trapezoide:
Le sorprenderá que por primera vez alguien le haga una declaración de amor y ésta no provenga de una figura plana. Su pertinaz vivencia en el plano le ha mantenido siempre al margen de lo que ocurre por arriba o por abajo, enfrente o detrás. Digámoslo claramente: yo lo conocí hace años pero usted aún no se había enterado, hasta hoy, de mi presencia. Debo pues empezar por el principio y darle noticia de cómo fue nuestro primer encuentro.
Ocurrió una tarde de otoño lluviosa. Una de estas tardes de octubre en que llueve a cántaros, los cristales de los colegíos quedan humedecidos y los escolares sin recreo. Usted estaba quieto en una página avanzada de un libro grueso que era nuestra pesadilla continua. Me acuerdo aún perfectamente. Página 77, al final hacia la derecha, Fue al abrir esta página, siguiendo la orden directa de la señorita Francisca, nuestra maestra, cuando lo vi por primera vez. Allí estaba usted entre los de su familia, un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio, un rombo, un romboide,… y ¡el trapezoide!. Un perfil grueso delimitaba sus desiguales lados y sus extraños ángulos. La señorita Francisca se fue exaltando a medida que nos iba narrando las grandes virtudes de sus colegas cuadriláteros… que si igualdades laterales, que si paralelismos, que si ángulos, que si diagonales… y el rato fue pasando y la señorita seguía sin decir nada. Como las señoritas acostumbran a no explicar lo más interesante, a mí se me ocurrió preguntarle:
- Señorita… ¿y el trapezoide?- Éste -replicó la maestra- éste es el que no tiene nada- ¿Nada de nada? – le repliqué- Sí, nada de nada – me contestó
… y sonó el timbre. Quedé fascinado: usted era un pobre, muy pobre cuadrilátero. Estaba allí, tenía nombre, pero nada más. Por eso a la mañana siguiente volví a insistir en el tema a la señorita.- Así debe ser muy fácil trabajar con los trapezoides -le dije – ya que como no tienen nada de nada no se podrá calcular tampoco nada de nada.- ¡Al contrario! Estos son, los más difíciles de calcular. Ya lo verá cuando sea mayor.
Durante aquella época yo creí intuir que matemáticas y cosas sexuales debían tener algo en común pues siempre se nos pedía esperar a ser mayores para verlo.
A usted ya no lo vi más, hasta que en Bachillerato don Ramiro nos obsequió con una fórmula muy larga para calcular su área. Esto me enfadó enormemente. Usted había pasado del “nada de nada” al “todo de todo”. A partir de entonces empecé a pronunciar su “oide” final con especial desprecio ¡trapez -OIDE!.
Nuestro siguiente encuentro tuvo lugar en una calle. De pronto miro el pavimento y descubro con horror que le estoy pisando. Di un salto y me quedé mirando. ¡Que maravilla! Después de tantos años sobre mosaicos llenos de ángulos rectos allí estaba usted. El “nada de nada” era ahora una loseta. Dibujé aquel suelo y entonces marqué los puntos medios de sus lados y empecé a trazar rectas y una maravilla de paralelogramos nacieron enmarcando su repetición. La señorita Francisca tenía razón en lo difícil que es tratarlo pero no la tenía en le del “nada de nada”.
Y ahora al final de la declaración sólo me queda pedirle una cosa. Por favor no diga nunca a nadie que yo hice esta declaración. Guarde esto en el centro del paralelogramo inscrito que le acompaña. Yo guardaré su recuerdo, dibujándolo en todas las reuniones. Los amores imposibles al menos tienen la virtud de ser duraderos. Suyo.
Le sorprenderá que por primera vez alguien le haga una declaración de amor y ésta no provenga de una figura plana. Su pertinaz vivencia en el plano le ha mantenido siempre al margen de lo que ocurre por arriba o por abajo, enfrente o detrás. Digámoslo claramente: yo lo conocí hace años pero usted aún no se había enterado, hasta hoy, de mi presencia. Debo pues empezar por el principio y darle noticia de cómo fue nuestro primer encuentro.
Ocurrió una tarde de otoño lluviosa. Una de estas tardes de octubre en que llueve a cántaros, los cristales de los colegíos quedan humedecidos y los escolares sin recreo. Usted estaba quieto en una página avanzada de un libro grueso que era nuestra pesadilla continua. Me acuerdo aún perfectamente. Página 77, al final hacia la derecha, Fue al abrir esta página, siguiendo la orden directa de la señorita Francisca, nuestra maestra, cuando lo vi por primera vez. Allí estaba usted entre los de su familia, un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio, un rombo, un romboide,… y ¡el trapezoide!. Un perfil grueso delimitaba sus desiguales lados y sus extraños ángulos. La señorita Francisca se fue exaltando a medida que nos iba narrando las grandes virtudes de sus colegas cuadriláteros… que si igualdades laterales, que si paralelismos, que si ángulos, que si diagonales… y el rato fue pasando y la señorita seguía sin decir nada. Como las señoritas acostumbran a no explicar lo más interesante, a mí se me ocurrió preguntarle:
- Señorita… ¿y el trapezoide?- Éste -replicó la maestra- éste es el que no tiene nada- ¿Nada de nada? – le repliqué- Sí, nada de nada – me contestó
… y sonó el timbre. Quedé fascinado: usted era un pobre, muy pobre cuadrilátero. Estaba allí, tenía nombre, pero nada más. Por eso a la mañana siguiente volví a insistir en el tema a la señorita.- Así debe ser muy fácil trabajar con los trapezoides -le dije – ya que como no tienen nada de nada no se podrá calcular tampoco nada de nada.- ¡Al contrario! Estos son, los más difíciles de calcular. Ya lo verá cuando sea mayor.
Durante aquella época yo creí intuir que matemáticas y cosas sexuales debían tener algo en común pues siempre se nos pedía esperar a ser mayores para verlo.
A usted ya no lo vi más, hasta que en Bachillerato don Ramiro nos obsequió con una fórmula muy larga para calcular su área. Esto me enfadó enormemente. Usted había pasado del “nada de nada” al “todo de todo”. A partir de entonces empecé a pronunciar su “oide” final con especial desprecio ¡trapez -OIDE!.
Nuestro siguiente encuentro tuvo lugar en una calle. De pronto miro el pavimento y descubro con horror que le estoy pisando. Di un salto y me quedé mirando. ¡Que maravilla! Después de tantos años sobre mosaicos llenos de ángulos rectos allí estaba usted. El “nada de nada” era ahora una loseta. Dibujé aquel suelo y entonces marqué los puntos medios de sus lados y empecé a trazar rectas y una maravilla de paralelogramos nacieron enmarcando su repetición. La señorita Francisca tenía razón en lo difícil que es tratarlo pero no la tenía en le del “nada de nada”.
Y ahora al final de la declaración sólo me queda pedirle una cosa. Por favor no diga nunca a nadie que yo hice esta declaración. Guarde esto en el centro del paralelogramo inscrito que le acompaña. Yo guardaré su recuerdo, dibujándolo en todas las reuniones. Los amores imposibles al menos tienen la virtud de ser duraderos. Suyo.
Claudi Alsina es un matemático que ocupa la Cátedra de Matemáticas de la Universidad Politécnica de Barcelona que actualmente ha recibido el premio Vicens Vives que en el ámbito universitario otorga la Generalitat. A su vez, escribe cuentos para niños de carácter didáctico.
Visita los siguientes links, el video está basado en un cuento:
jueves, 26 de noviembre de 2009
Autoevaluación
Te proponemos las siguientes actividades para que evalúes tus conocimientos. Para realizar los ejercicios propuestos, hacer click en el link que aparece al final de cada actividad.
Actividad Nº 1: Arrastrar y soltar
Clasificación de cuadriláteros:
Relacionar los cuadros de la columna izquierda con los de la columna derecha, colocando el mouse en un elemento de la derecha que se relacione con otro de la izquierda (arrastrar el elemento seleccionado y colocar al lado del correspondiente y soltar). Una vez completado el ejercicio hacer click en "check".
Actividad Nº 2: Crucigrama
Cuadriláteros
Hacer click con el mouse donde aparezca un número aparece el siguiente cartel:
Across: quiere decir fila ó Down: se refiere a columna, con una definición para colocar la palabra correcta, al lado aparece la etiqueta HINT ( quiere decir pista, cada vez que se da click con el mouse va apareciendo una letra). Una vez que se completó la actividad, dar click en "check"
Actividad Nº 3: Completar los espacios en blanco
A la derecha de cada espacio en blanco (para completar) aparece un signo de interrogación ?, al hacer click con el mouse en éste, aparece la definición de la palabra en cuestión; la etiqueta HINT ( quiere decir pista, cada vez que se da click con el mouse va apareciendo una letra) que aparece al final de la actividad posibilita completar la definición en caso que sea necesario. Una vez que se realizó la actividad, dar click en "check".
domingo, 22 de noviembre de 2009
Simetria de los Cuadriláteros
Para reconocer si un punto es centro de simetría de un cuadrilátero, se hace girar 180º la figura. Si en la nueva posición la figura es congruente con la dada, el punto considerado es centro de simetría.
Para reconocer si una recta es eje de simetría de un cuadrilátero se dobla la figura por dicha recta. Si coinciden ambas partes, la recta es eje de simetría de la figura. Mediante esta simples experiencias podemos verificar si las diagonales, las bases medias ó los respectivos puntos de intersección son elementos de simetría, en las distintas clases de cuadriláteros.
Propiedad
En todo paralelogramo el punto de intersección de las diagonales es centro de simetría de la figura.
Propiedad
En todo romboide, la diagonal principal es eje de simetría de la figura.
Para recordar conceptos de simetría visita el siguiente link:
Para ver la simetría en los cuadriláteros te proponemos el siguiente enlace:
sábado, 21 de noviembre de 2009
Propiedades de las bases medias
Definición: se llaman bases medias de un cuadrilátero a los segmentos determinados por los puntos medios de cada par de lados opuestos.
Propiedad general de las bases medias de un cuadrángulo convexo
Propiedad: en todo cuadrángulo convexo cada base media corta a la otra en partes congruentes.
Base media de un triángulo
Recordamos que se llaman bases medias de un triángulo a los segmentos determinados por los puntos medios de cada par de lados. Todo triángulo tiene tres bases medias.
Propiedad de la base media del triángulo: En todo triángulo, la base media determinada por los puntos medios de dos lados es paralela al tercer lado e igual a su mitad.
Bases medias del Paralelogramo
Propiedad: En todo paralelogramo, la base media determinada por los puntos medios de un par de lados opuestos es paralela y congruente a los otros dos lados.
Bases medias del Trapecio
Definición: El segmento determinado por los puntos medios de los lados no paralelos se llama base media principal del trapecio
Propiedad: En todo trapecio, la base media principal es paralela a las bases e igual a su semisuma.
Propiedades de las bases medias del trapecio isósceles
- En todo trapecio isósceles la base media determinada por los puntos medios de los lados paralelos es perpendicular a dichos lados.
- En todo trapecio isósceles las bases medias son perpendiculares.
Bases medias del Romboide
Propiedad: Las bases medias del romboide son congruentes.
Una demostración importante usando propiedades de las base medias es:
"Los puntos medios de un trapezoide unidos de forma consecutiva forman un paralelogramo"
Veamos la demostración en el siguiente video:
http://www.youtube.com/watch?v=HHAqINBZQ-M
Propiedades de las diagonales
Propiedades de las diagonales
Un cuadrilátero tiene dos diagonales.
1-Por su longitud pueden ser: a) Congruentes. b) No congruentes.
2-Por su disposición:
a) Se cortan
Y por su posición pueden ser: i)Oblicuas. ii)Perpendiculares
Y por su punto de intersección: i)Se cortan en el punto medio. ii)Una corta a la otra en su punto medio. iii)Se cortan en otro punto cualquiera.
b) No se cortan
Propiedades de las diagonales
- En todo cuadrángulo convexo las diagonales se cortan en un punto interior al mismo.
- Si las diagonales de un cuadrilatero se cortan en un punto medio, dicho cuadrilátero es un paralelogramo.
- Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un rombo.
- Si un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares y una corta a la otra en partes congruentes, dicho cuadrilátero es un romboide.
- La diagonal principal del romboide es bisectriz del par de ángulos opuestos correspondientes.
- Si las diagonales de un cuadrilátero son congruentes y se cortan en el punto medio, dicho cuadrilátero es un rectángulo.
- Si las diagonales de un rectángulo son perpendiculares, dicho rectángulo es un cuadrado.
Recordando que:
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos iguales. Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios. Las diagonales se cortan en el punto medio.
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.
Elementos de un cuadrilátero
Los elementos de un cuadrilátero son:
4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que conforman el cuadrilátero;
4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;
2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos;
4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;
8 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente.
En todos los cuadriláteros la suma de los cuatro ángulos interiores es igual a 360º (grados) o 2π radianes, y la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º o 4 rectos.
La forma más habitual de clasificar cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados. Según este criterio los cuadriláteros pueden ser:
- Sin lados paralelos. (TRAPEZOIDES).
- Con al menos un par de lados paralelos. (TRAPECIOS).
- Con dos pares de lados paralelos. (PARALELOGRAMOS).
Un trapezoide especial es el Romboide: tiene dos pares de lados consecutivos iguales
Los trapecios se clasifican en:
Trapecio escaleno: es el que tiene todos sus lados de distinta longitud (desiguales).
Trapecio rectángulo: es el que tiene dos ángulos rectos.
Trapecio isósceles: tiene los ángulos adyacentes a las bases iguales y los dos lados no paralelos también son iguales.
PARALELOGRAMOS ESPECIALES:
Rectángulo: tiene sus 4 ángulos rectos (90º)
Rombo: tiene sus 4 lados iguales.
Cuadrado: tiene sus 4 lados iguales y sus 4 ángulos rectos
Visita los siguientes enlaces:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cuadrilateros.html
Triangulemos
Observa atentamente la figura, ¿Cuántos triángulos encuentras?...
Un triángulo, en Geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados; o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación de los triángulos
Un triángulo, en Geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados; o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
a) Clasificación según sus lados
Triángulo Equilátero: es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida.
Triángulo Isósceles: es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.
Triángulo Escaleno: es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.
Triángulo Isósceles: es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.
Triángulo Escaleno: es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.
b) Clasificación según sus ángulos
Triángulo Acutángulo: aquel que tiene todos sus ángulos agudos.
Triángulo Rectángulo: aquel que tiene un ángulo recto.
Triángulo Rectángulo: aquel que tiene un ángulo recto.
Triángulo Obtusángulo: aquel que tiene un ángulo obtuso.
Para ampliar la información visita los siguientes enlaces:
Un poco de Historia
Gran parte de las Matemáticas, y muy especialmente de la Geometría, no sería igual hoy en día si no hubiera existido una figura tan trascendental como Thales de Mileto. Thales nació en la ciudad griega de Mileto, vivió entre los años 624 a.C. y 548 a.C. Fue sobre todo comerciante, pero también ingeniero, astrónomo, filósofo y, por supuesto matemático.
De su vida se sabe muy poco, pero lo que si puede asegurarse es que fue un hombre de una gran inteligencia, el primero de los siete grandes sabios griegos. Fue el primer matemático, propiamente dicho, al dedicarse a demostrar, por el método deductivo, gran cantidad de propiedades y teoremas que hasta entonces se daban por ciertos, pero que no habían sido demostrados. Vivió mucho años en Egipto, donde aprendió todos los conocimientos que ellos poseían, y que luego se dedicó a demostrar.
Fue fundamental el Teorema de Thales, pues a partir de él se pudo empezar a trabajar seriamente sobre las proporciones geométricas. Según la leyenda, lo utilizó por primera vez para medir la altura de las pirámides utilizando sus sombras (y la suya propia), conociendo lo que el medía y sin ningún otro instrumento!!
Sabías que...
Arquímedes posiblemente ha sido el matemático más grande de la Antigüedad. Su importancia puede compararse a la de Gauss y Newton. además fue un gran inventor de ingenios mecánicos. Nació en Siracusa, una de las ciudades griegas que existieron en la isla de Sicilia, en el año 287 a.C. Durante su juventud viajó a Alejandría, donde se educó. Más tarde regresó a Siracusa y permaneció allí el resto de su vida. Arquímedes hizo inventos y realizó descubrimientos en varios campos: Geometría, Arimética, Física e Ingeniería.
En Geometría estudió el cálculo de longitudes, áreas y volumenes en figuras limitadas por líneas y superficies curvas, utilizando un método de aproximaciones sucesivas inventado por Eudoxo el Método de exhaución . También calculó el valor aproximado del número pi.
En Física investigó las leyes de la palanca mostrando cómo se pueden usar para mover objetos de gran peso. También descubrió el principio que lleva su nombre Principio de Arquímedes, que trata del equilibrio de los cuerpos que flotan en el agua. Se cuenta que hizo ese descubrimiento cuando se estaba bañando y salió por las calles desnudo gritando ¡Eureka!, que en griego significa ¡Lo he encontrado!.
Durante el sitio romano sobre la ciudad de Siracusa, inventó máquinas militares para ayudar a defender su ciudad. Utilizó las propiedades de un espejo de forma parabólica para reflejar, en forma concentrada, los rayos solares sobre las naves romanas y de esa manera incendiarlas.
viernes, 13 de noviembre de 2009
La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es El teorema de Pitágoras, y el otro la división de una línea en la proporción del medio y los extremos, es decir El número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa . Johannes Kepler.
PUEDES VISITAR ESTE SITIO
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/index.htm
PUEDES VISITAR ESTE SITIO
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/index.htm
jueves, 12 de noviembre de 2009
La Geometría tuvo su origen en las actividades prácticas y en los problemas de la vida cotidiana. Muchos de los avances realizados en la Geometría se debieron a la necesidad que tuvo el hombre de resolver problemas prácticos, por ejemplo los que tenían que ver con la construcción o con la delimitación de terrenos.
Después de una primera fase experimental, el hombre tuvo el deseo de adivinar, de predecir resultados de nuevas experiencias matemáticas sin hacerlas efectivas, solo imaginándolas. Tal vez, fue ese el origen de las figuras básicas de la Geometría (rectas, triángulos, circunferencias, etc.) y de las relaciones elementales, tales como la perpendicularidad y el paralelismo entre rectas, la congruencia y semejanza de figuras.
La Geometría como parte de la Matemática, sin embargo fue fundada por los griegos, reconociendo que hay conceptos abstractos o ideas ( punto, recta, plano) y la adopción de enunciados llamados axiomas que se aceptan como conocimiento seguro de esas abstracciones y la decisión de probar deductivamente cualquier otra propiedad sobre esos conceptos. Los griegos convirtieron la Geometría en una estructura vasta, sistemática y deductiva. El libro de Geometría mas importante de los griegos fue Elementos de Geometría de Euclides escrito alrededor del año 300 a.C.
La resolución de éstos problemas provocó el estudio de las propiedades de los cuerpos y las superficies así como el desarrollo de formas de medición. Nuestro medio está constituído por infinidad de cuerpos y de figuras en los que se pueden identificar formas geométricas. Las formas geométricas no están presentes en la realidad, sino que son fruto de una abstracción.
El estudiante se mueve en un espacio concreto donde las relaciones espaciales son observables directamente. Este espacio, en el que prima la percepción se distingue del espacio mental como representación, posible de ser pensado inalterable o cambiante. Sobre este espacio opera la Matemática.
El estudio de la Geometría es muy formativo por su carácter intuitivo, por el soporte visual que puede proporcionar a otras ramas de la Matemática, por la gran cantidad de problemas interesantes que se resuelven con contenidos elementales; por su lado estético y por sus aplicaciones en la vida y en otras ciencias.
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